1981. В клетках таблицы размером 11×11 расставлены натуральные числа от 1 до 121. Дима посчитал произведение чисел в каждой строке, а Саша — произведение чисел в каждом столбце. Могли ли они получить одинаковые наборы из 11 чисел?

1982. Начав с некоторого натурального числа, каждую секунду к имеющемуся в данный момент числу прибавляем произведение цифр его десятичной записи. Докажите, что рано или поздно число перестанет изменяться.

1983. Сколько существует способов разбить число 2006 на натуральные слагаемые, никакие два из которых не отличаются более чем на 1? (Слагаемых может быть одно или несколько. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, не различаем.)

1984. На плоскости отмечены 1000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1 000 000.

1985. Четырёхугольник ABCD, у которого нет параллельных сторон, описан около окружности с центром O. Точки K, L, M и N — середины отрезков AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что если точки K, M и O лежат на одной прямой, то на одной прямой лежат и точки L, N и O.

1986. Если x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., y_n — неубывающая последовательность вещественных чисел, то квадрат суммы этих чисел не менее чем в 4n раз больше суммы чисел x₁y₁, x₂y₂, ..., x_ny_n. Докажите это.

1987. Рассмотрим додекаэдр и икосаэдр с равными расстояниями от центра до ребра. Сравните их объёмы.

1988. Для каких натуральных чисел a существуют такие целые неотрицательные числа k, m и n, что если приписать к десятичной записи числа a^m десятичную запись числа aⁿ, то получим десятичную запись числа a^k?

1989. В королевстве n городов и r дорог. Каждая дорога соединяет два города. Из любого города можно добраться до любого другого по дорогам. В начале каждого года один из городов отправляет во все соседние (то есть соединённые с ним дорогами) города по гонцу (в таком городе должно быть достаточное для этого количество гонцов). Если ни в одном из городов гонцов недостаточно, то движения прекращаются.

а) Пусть через несколько лет движения гонцов прекратились. Докажите, что если города, отправляющие гонцов, выбирать по-другому, то движения гонцов всё равно прекратятся, причём конечные количества гонцов в городах не зависит от выбора городов, отправляющих гонцов.

б*) Пусть через несколько лет в каждом городе оказалось столько же гонцов, сколько их там было изначально. Какое наименьшее число гонцов может быть в королевстве?

1990. На продолжении стороны BC за точку C лежит точка X. Вписанные в треугольник ABX и ACX окружности пересекаются в точках P и Q. Докажите, что все прямые PQ проходят через некоторую точку, не зависящую от положения точки X.

1991. Среди 6 монет одна фальшивая: отличается по массе от настоящей. За три взвешивания на весах, показывающих при каждом взвешивании общую массу положенных на их чашу монет, научитесь выделять фальшивую монету.

1992. Куб перекатили несколько раз (каждый раз — через ребро) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх. Могла ли верхняя грань повернуться на 90° относительно своего первоначального положения?

1993. H — точка пересечения высот треугольника ABC; точка X не лежит ни на одной из прямых AH, BH и CH. Окружность с диаметром HX вторично пересекает прямые AH, BH и CH в точках A₁, B₁ и C₁, а прямые AX, BX и CX — в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

1994. а) В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,001 г. Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы показали разность, не превосходящую 1 г.

б) В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше (1 + x) г. При каком наибольшем x весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы показали разность, не превосходящую 1 г?

1995. Уравнение n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = m(m + 1)²(m + 2)³(m + 3)⁴ не имеет решений в натуральных числах. Докажите это.

1996. Для каких n существуют такие натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n, не все из которых равны между собой, что сумма дробей a₁ ⁄ a₂, a₂ ⁄ a₃, ..., a_n–1 ⁄ a_n и a_n ⁄ a₁ является целым числом?

1997. На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E и F. Докажите, что площадь треугольника DEF не меньше удвоенной площади треугольника ABC.

1998. В одной кучке лежат n камней, а в другой — k камней. Каждую минуту автомат выбирает кучку, в которой число камней чётное, и половину имеющихся в ней камней перекладывает в другую кучку. Если в обеих кучках нечётное число камней, автомат прекращает работу. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел (n; k), не превосходящих 1000, для которых автомат обязательно остановится?

1999. Можно ли расположить на бесконечном клетчатом листе 2005 трёхклетчатых прямоугольников так, чтобы каждый прямоугольник с двумя другими прямоугольниками имел ровно по одной общей точке, а с остальными прямоугольниками общих точек не имел?

2000. Есть n мудрецов и неограниченный запас колпаков каждого из n различных цветов. Мудрецы одновременно закрывают глаза, и каждому из них надевают на голову колпак (например, все надетые колпаки могут оказаться одного цвета). Затем мудрецы открывают глаза. Каждый видит, какие колпаки надеты на остальных, но не видит своего. После этого каждый мудрец пытается угадать, какого цвета его колпак, записав свою гипотезу на бумажке втайне от остальных. Докажите, что мудрецы могут заранее договориться таким образом, чтобы в любом случае хотя бы один угадал цвет своего колпака.

2001. AA', BB' и CC' — биссектрисы треугольника ABC. Величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите равенство A'B' = A'C'.

2002. Сумма положительных чисел a, b и c равна 1. Докажите, что сумма обратных величин этих чисел не меньше частного от деления числа 25 на сумму числа 1 и числа 478abc.

2003. Докажите следующие утверждения.

а) Для любых натуральных чисел a, b, c, n уравнение x² + y² + z² = (a² + b² + c²)ⁿ разрешимо в натуральных числах x, y, z.

б) Для любого нечётного числа n > 1 и любых натуральных чисел a, b и c уравнение ax² + by² + cz² = tⁿ разрешимо в натуральных числах x, y, z, t.

в) Существуют такие натуральные числа a, b и c, что уравнение ax² + by² + cz² = t² неразрешимо в натуральных числах x, y, z, t.

2004. У Карлсона имеется 1000 банок варенья. Банки не обязательно одинаковые, но в каждой — не больше ¹⁄₁₀₀ части всего варенья. На завтрак Карлсон может съедать поровну варенья из любых 100 банок. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы после нескольких завтраков съесть всё варенье.

2005. Никакой выпуклый n-вершинник нельзя разрезать менее чем на n – 3 тетраэдра. Докажите это.

2006. График линейной функции касается графика квадратичной функции y = f (x), а график квадрата этой линейной функции получается из графика функции y = f (x) сдвигом вниз на величину p. Найдите p.

2007. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. На отрезках AI и IC выбраны точки M и N соответственно так, что величина угла ABC вдвое больше величины угла MBN. Докажите, что величина угла ADC вдвое больше величины угла MDN.

2008. Назовём делитель числа n маленьким, если он не превосходит ⁿ ⁄ _{10 000}, и большим — в противном случае. Конечно ли множество таких n, что произведение всех больших делителей числа n, отличных от n, равно произведению всех его маленьких делителей?

2009. Существуют ли такое n > 1 и такие попарно различные числа a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_n, что каждое из них является корнем одного из многочленов x² – a₁x + b₁, x² – a₂x + b₂, ..., x² – a_nx + b_n?

2010. Для натуральных чисел m и n количество связных клеточных фигур прямоугольника размером m×n нечётно тогда и только тогда, когда не кратно числу 4 ни число m(m + 1), ни число n(n + 1). Докажите это. (Связная клеточная фигура — это такое непустое множество клеток, что из любой его клетки можно пройти в любую другую его клетку, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку.)

2011. При любом разбиении множества первых 200 натуральных чисел на 50 множеств хотя бы в одном из них есть три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника. Докажите это.

2012. Из вершины A тетраэдра ABCD опустили перпендикуляры AB', AC' и AD на плоскости, делящие пополам соответственно двугранные углы при рёбрах CD, BD и BC. Докажите, что плоскость B'C'D' параллельна плоскости BCD.

2013. Для каких натуральных n существуют такие нецелые рациональные числа a и b, что числа a + b и aⁿ + bⁿ целые?

2014. На дугах AB и BC описанной окружности треугольника ABC выбраны точки K и L так, что прямые AC и KL параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и BCL равноудалены от середины дуги ABC.

2015. Можно ли сварить проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1, из восемнадцати деталей конструктора, каждая деталь которого которого имеет вид а) ломаной из трёх взаимно перпендикулярных звеньев длины 1; б) трёх сторон квадрата со стороной длины 1?

2016. Какое наибольшее количество вершин, в каждой из которых сходится по 3 ребра, может иметь выпуклый 2n-гранник, все грани которого — треугольники?

2017. Квадрат размером 3000×3000 разбит на доминошки — прямоугольники размером 1×2. Доминошки называем соседними, если они граничат хотя бы по одной из сторон одной из клеток. Докажите, что доминошки можно раскрасить а) в три цвета так, чтобы доминошек всех цветов было поровну и у каждой доминошки было не более двух соседей её цвета; б) в четыре цвета так, чтобы доминошек всех цветов было поровну и никакие две одноцветные доминошки не были соседними.

2018. Если натуральное число n представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, каждое из которых кратно 3, то n представимо и в виде суммы квадратов трёх целых чисел ни одно из которых не кратно числу 3. Докажите это.

2019. Окружность ω касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L. Отрезок AK пересекает ω второй раз в точке M. Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности ω.

2020*. Многочлен (x + 1)ⁿ – 1 делится на многочлен степени k, все коэффициенты которого — целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.

2021. Граф на а) 99; б) 100 вершинах таков, что любые 98 его вершин можно разбить на 49 таких пар, что в каждой паре вершины соединены между собой. Каково наименьшее возможное число рёбер такого графа?

2022. Даны окружность, точка A на ней и точка M внутри неё. Рассмотрим хорды BC, проходящие через точку M. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всевозможных треугольников ABC, касаются фиксированной окружности.

2023. a, b, c — ненулевые целые числа, сумма которых равна 0. Докажите, что

а) (ab)⁵ + (bc)⁵ + (ca)⁵ делится на (ab)² + (bc)² + (ca)²;

б) если n – 1 делится на 3, то aⁿ + bⁿ + cⁿ делится на a⁴ + b⁴ + c⁴;

в) если n – 2 делится на 3, то (ab)ⁿ + (bc)ⁿ + (ca)ⁿ делится на (ab)² + (bc)² + (ca)².

2024. Существует ли выпуклый многоугольник, каждая сторона которого равна какой-то его диагонали, а каждая диагональ равна какой-то стороне?

2025. Докажите следующие утверждения.

а) Для любого нечётного натурального числа n существует возрастающая арифметическая четырёхчленная прогрессия, состоящая из натуральных чисел, произведение членов которой является n-й степенью натурального числа.

б) Произведение никаких четырёх натуральных чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, не является квадратом натурального числа.