1891. Среди n рыцарей каждые двое — либо друзья, либо враги. У каждого рыцаря ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

1892. Величина угла C треугольника ABC равна 45^о. Докажите равенство АВ⁴ = (ВС² – АВ²)² + (СА² – АВ²)².

1893. В круге проведены 100 хорд так, что середина любой из них принадлежит какой-либо другой из этих хорд. Докажите, что среди них найдутся хотя бы два диаметра.

1894. Пусть m, n — натуральные числа, n > 1, а число m²n² – 4m + 4n является точным квадратом. Докажите равенство m = n.

1895. В квадрат АВСD вписан треугольник MAN так, что величина угла MAN равна 45^о. Докажите, что диагональ BD квадрата делит треугольник на две части равной площади.

1896. На квадратном холсте со стороной 2n + 1 (n — натуральное число) художник нарисовал картину чёрной краской. При этом оказалось, что в каждом квадрате размером 2×2, стороны которого параллельны сторонам холста, покрашено в чёрный цвет а) не менее ³⁄₄ его площади; б) не более ³⁄₄ его площади. Какую наименьшую площадь в случае а) и какую наибольшую площадь в случае б) мог закрасить художник на холсте чёрной краской?

1897. На числовой прямой отмечены точки с координатами 1, 2, 3, …, 2n. Блоха за n прыжков побывала во всех отмеченных точках и вернулась в исходную точку. При этом любые два последовательных прыжка были противоположно направлены. Известно, что сумма длин всех прыжков блохи за исключением последнего равна 4n – 3. Докажите, что длина последнего прыжка равна 2n – 1.

1898. Сторона AD прямоугольника ABCD точками А₁, А₂, …, A_{n – 1} разделена на n отрезков. На стороне ВС отмечены точки В₁, В₂, …, В_n, некоторые из которых (или даже все) могут совпадать. Проведём в прямоугольнике зигзагообразную ломаную А₀В₁А₁В₂ … А_kВ_{k + 1}A_{k + 1} … A_n, (возможно, самопересекающуюся), где А₀ — это А, а А_n — это D. Как следует выбрать точки А_k, В_k, где 1 £ k < n, чтобы сумма длин радиусов r_k окружностей, вписанных во все n треугольников А_kВ_{k + 1}A_{k + 1}, была наибольшей?

1899. Обозначим f (n) = sin nα + sin nβ + sin nγ, где α, β и γ — углы некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что

а) f (n) < f (1) при n = 3 или 4;

б) f (n) £ f (1) при n = 2 или 8;

в) для любого натурального числа n > 4, где n ≠ 7 и n ≠ 8, существует такой остроугольный треугольник, что f (n) > f (1).

1900. Можно ли расположить в пространстве 5 одинаковых кубов так, чтобы любые два из них имели общую диагональ, а никакие три не имели?

1901. В криволинейный треугольник, ограниченный дугами конгруэнтных касающихся окружностей и их общей касательной, помещены синий и красный квадраты, как показано на рисунке. Докажите, что сторона синего квадрата вдвое больше стороны красного.

1902. На встречу выпускников пришли 45 человек. Любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы между собой. Каково наибольшее возможное число знакомств среди участников встречи?

1903. На плоскости дан отрезок AB. На сторонах AX и BX треугольника ABX как на диаметрах внешним образом построены полуокружности. Найдите множество таких точек X, что существует окружность, касающаяся этих полуокружностей в их серединах.

1904. Натуральные числа a, b и c удовлетворяют равенству a(b² + c²) = 2b²c. Докажите, что число 2b не превосходит суммы произведения числа a на квадратный корень из a и числа c.

1905. Покройте квадратный стол размером 5×5 в два слоя 50 квадратными салфетками так, чтобы никакой отрезок края никакой салфетки не лежал на краю стола. (Салфетки можно перегибать, но нельзя рвать.)

1906. На полосу положили квадрат, длина стороны которого равна ширине полосы. Граница квадрата пересекла границу полосы в четырёх точках. Докажите, что две прямые, проходящие «накрест» через эти точки, пересекаются на диагонали квадрата.

1907. а) Число 9²⁰⁰⁴ – 1 представили в виде суммы нескольких степеней тройки (с целыми неотрицательными показателями). Каково наименьшее возможное количество слагаемых в этой сумме?

б) Число 2004! – 1 представили в виде суммы некоторого количества факториалов. Каково наименьшее возможное количество слагаемых в этой сумме?

1908. Каждая пара (a, b) натуральных чисел порождает пару последовательностей по формулам x₁ = a, y₁ = b, x_{k + 1} = x_ky_k и y_{k + 1} = x_k + y_k для любого натурального k. Докажите, что для любой пары (a, b) существует такое n, что x_n > y_n. Обозначим наименьшее из этих чисел через f (a, b). Для какой пары (a, b) число f (a,b) максимально?

1909. Девять горизонтальных и девять вертикальных прямых разрезали прямоугольник на 9 красных и 91 синих прямоугольников. Периметр каждого из синих прямоугольников является целым числом. Докажите, что периметры всех 100 прямоугольников — целые числа.

1910. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка D. Точки O₁ и O₂ — центры описанных окружностей треугольников ACD и BCD соответственно. Пусть E — точка пересечения прямых BO₁ и AO₂. Докажите равенство величин углов BCE и ACD.

1911. Рассмотрим систему уравнений a^m + b^m = c^m + d^m, aⁿ + bⁿ = cⁿ + dⁿ, где m и n — натуральные числа, m < n. Докажите следующие утверждения.

Числа a, b, c и d не могут быть все разными, если а) числа m и n одной чётности; б) m нечётно, а n чётно.

в) Если m чётно, а n нечётно, то существуют удовлетворяющие системе уравнений четыре не равные одно другому числа a, b, c и d.

1912. Гирьки 1 г, 2 г, 3 г, ..., 200 г разложили по 100 штук на каждую чашу весов так, что весы показали равновесие. Сумма масс никаких двух гирь левой чаши весов не равна 301 г. Обозначим через a₁ < a₂ < ... < a₁₀₀ массы гирек левой чаши, а через b₁ < b₂ < ... < b₁₀₀ — массы гирь правой чаши. Докажите равенство

1913. Если 0 < x < y < 1, то удвоенный квадратный корень из числа (1 – x²)(1 – y²) не превосходит числа 2(1 – x)(1 – y) + 1. Докажите это.

1914. Заданная на всей вещественной прямой функция f такова, что для любого x верны равенства f (2 + x) = f (2 – x), f (0) = 0 и f (7 + x) = f(7 – x).

а) Может ли функция f принимать ровно два значения? А бесконечно много значений?

б) Найдите все возможные значения наибольшего корня уравнения f (x) = 0 на отрезке [0; 1000].

1915. В тетраэдре ABCD имеют место равенства AB = BC = CD = a и BD = DA = AC = b. Найдите расстояние между прямыми AD и BC.

1916. Равносторонний треугольник разрезан на 25 равносторонних треугольников, лишь один из которых имеет отличную от 1 площадь. Какую?

1917. Натуральные числа a, p и q таковы, что ар + 1 делится на q, а aq + 1 делится на р. Докажите неравенство 2a(p + q) > pq.

1918. К двум окружностям проведены общие внешние касательные, одна из которых касается окружностей в точках A и В. Бильярдный шар, выпущенный из точки А, отразился от второй касательной и попал в точку В. Докажите, что хорды, высеченные его траекторией на окружности, равны.

1919. Число а) 2004^x + 1; б) 2004ⁿ – 1 не является ни второй, ни более высокой степенью натурального числа ни при каком натуральном n. Докажите это.

1920. Существуют ли такое действительное число х, что числа ctg x и ctg 2004x оба целые?

1921. На наибольшей стороне АВ треугольника АВС взяли точки M и N такие, что BC = BM и CA = AN, а на сторонах СА и ВС — такие точки Р и Q, что РМ параллелен ВС, а QN параллелен СА. Докажите равенство QC = CP.

1922. Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника — лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины с внутренним углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что шар в эту вершину никогда не вернётся.

1923. На плоскости отмечено N различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите неравенство N £ (n + 1)².

1924. Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что данные три числа имеют общий делитель, больший единицы.

1925. Мишень «бегущий кабан» находится в одном из n окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень всё время остаётся невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?

1926. Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что числа p^s + s^q, q^s + s^r и r^s + s^p тоже простые.

1927. Пусть АВС — неравносторонний треугольник; О и I — центры описанной и вписанной окружностей, Н — точка пересечения высот треугольника. Могут ли точки О, I и H быть вершинами равнобедренного треугольника?

1928. Для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, разность между наибольшим и наименьшим из которых не превосходит 2, сумма квадратных корней из чисел 1 + x₁x₂, 1 + x₂x₃, ..., 1 + x_nx₁ не меньше суммы чисел x₁, x₂, ..., x_n и не больше суммы этой суммы и числа n.

1929. Для любого натурального числа d существует делящееся на него натуральное число n, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что полученное число тоже делится на d. Докажите это.

1930. На любых ли четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции; б) параллелограмма?

1931. Каждая точка плоскости, обе координаты которой целые, покрашена в один из трёх цветов, причём все три цвета присутствуют. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами трёх разных цветов.

1932. Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃,... для любых натуральных m и n удовлетворяет равенству a_m + a_n = a_mn. Докажите, что не все её члены различны.

1933. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными линиями, принадлежащим k авиакомпаниям. Любые две линии одной авиакомпании имеют общий город. Докажите, что все города можно разбить на k + 2 множества так, что никакие два города из одного множества не соединены авиалинией.

1934. Даны четыре последовательных члена арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля. Не все они квадраты, однако их произведение — квадрат натурального числа. Докажите, что это произведение делится на 2520².

1935. Все грани тетраэдра — подобные треугольники. Докажите, что они конгруэнтны.