1711. В «Большой энциклопедии кроликов» 10 томов. Они стоят на полке почти по порядку: каждый том стоит либо на своём месте, либо на соседнем. Сколько таких расположений возможно?

1712. а) Несколько треугольников расположены на плоскости так, что каждый четыре из них имеют общую вершину. Докажите, что все треугольники имеют общую вершину.

б) Несколько прямоугольников расположены на плоскости так, что каждые три из них имеют общую вершину. Докажите, что все прямоугольники имеют общую вершину.

1713. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты такие точки A', B' и C', что прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке. Пусть D, E, F, D', E' и F' — середины отрезков AB, BC, CA, A'B', B'C' и C'A' соответственно. Докажите, что

а) прямые DD', EE' и FF' имеют общую точку, причём эта точка, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка пересечения прямых AA', BB' и CC' лежат на одной прямой;

б) если в качестве прямых AA', BB' и CC' взяты высоты треугольника ABC, то точка пересечения прямых DD', EE' и FF' совпадает с центром окружности девяти точек треугольника ABC;

в) если прямые AA', BB' и CC' — биссектрисы треугольника ABC, то их общая точка, точка Нагеля (точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника ABC и делящих его периметр пополам) и общая точка прямых DD', EE' и FF' лежат на одной прямой;

г) если прямые AA', BB' и CC' делят периметр треугольника ABC пополам, то точка пересечения прямых DD', EE' и FF' совпадает с центром масс контура треугольника ABC.

1714*. Уравнение а) (x² + 1)(y² – 1) = z²; б) (x² – 1)(y² – 1) = z²; в*) (x² + 1)(y² + 1) = z² имеет бесконечно много решений в натуральных числах x, y и z, удовлетворяющих условию x ≠ y. Докажите это.

1715. Первые 2n натуральных чисел записаны по кругу так, что сумма модулей разностей соседних чисел равна 2n². Докажите, что если, начав с любого из этих чисел, вычислить разности первого и второго, третьего и четвёртого, ..., (2n – 1)-го и 2n-го и сложить модули полученных разностей, то сумма окажется равна n².

1716. Какое наименьшее число клеток можно отметить в квадрате клетчатой бумаги размером n×n так, чтобы каждая клетка квадрата, отмеченная или неотмеченная, соседствовала по стороне хотя бы с одной отмеченной клеткой?

1717*. Окружности ω₁ и ω₂ изнутри касаются окружности ω в точках M и N соответственно. Окружность ω₁ проходит через центр окружности ω₂. Прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω₁ и ω₂, пересекает окружность ω в точках A и B. Прямые MA и MB пересекают окружность ω₁ в точках C и D соответственно. Докажите, что прямая CD касается окружности ω₂.

1718. Найдите все такие функции, что для любых x и y верно равенство f (x – f (y)) = f (f (y)) + xf(y) + f (x) – 1.

1719*. Первый член последовательности a₁, a₂, a₃, ... равен 1. Складывая всякий член этой последовательности с обратным к нему числом, получаем следующий член последовательности.

а) Докажите неравенство a₁₀₀ > 14.

б*) Найдите [a₁₀₀₀], то есть найдите такое целое число m, что m < a₁₀₀₀ < m + 1.

в*) Докажите существование и найдите значение предела последовательности, n-й член которой равен отношению числа a_n к квадратному корню из n.

1720*. Какое наибольшее число одинаковых деревянных кубиков можно скдеить между собой так, чтобы каждые два кубика были склеены по грани или по участку грани?

1721. Имеет ли уравнение x² – 3y² = 2000 решение в целых числах?

1722. Числа a и b натуральные. Проведём через точку (a;b) прямую, отсекающую от первого координатного угла треугольник.

а) Докажите, что количество точек с целыми неотрицательными координатами, которые лежат внутри или на сторонах этого треугольника, превышает 2ab + a + b.

б) Докажите, что эта оценка точная: через точку (a;b) можно провести прямую, отсекающую от первого координатного угла треугольник, внутри и на сторонах которого всего 2ab + a + b + 1 точек с целыми неотрицательными координатами.

1723. Из точки на плоскости выходят n красных и n синих векторов. Красные векторы занумерованы первыми n натуральными числами. В порядке нумерации каждый вектор поворачивается по часовой стрелке и занимает положение ближайшего свободного синего вектора так, что в конце концов красные векторы займут положения синих векторов. Докажите, что сумма углов поворотов не зависит от порядка нумерации красных векторов.

1724. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке O. Прямая DE пересекает продолжение стороны AC в точке K. Докажите, что медиана BM треугольника ABC перпендикулярна прямой OK.

1725*. Из клетчатой бумаги вырезана крестообразная фигура F высотой 2n + 1 и шириной 2n + 1 (пример для случая n = 3 изображён на рисунке). Докажите, что а) фигуру F нельзя разрезать на 2n выпуклых фигур; б) если фигура F разрезана на 2n + 1 выпуклых многоугольников, то каждый из них является прямоугольником.

1726. На плоскости проведены n прямых. Каждая пересекает ровно 1999 других. Найдите все возможные значения n.

1727. Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Начинают с произвольного натурального числа. Затем по очереди они делают следующее. Фома прибавляет к очередному числу некоторую из его цифр, а Ерёма вычитает из очередного числа некоторую из его цифр. Докажите, что хотя бы одно из чисел встретится в этой последовательности не менее 10 раз.

1728. Точки K и L — это точки касания сторон AC и BC треугольника ABC с его вневписанными окружностями. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков KL и AB а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна биссектрисе угла ACB.

1729. Натуральный ряд разбит на два бесконечных подмножества так, что для любых чисел x, y и z, принадлежащих одному и тому же из этих подмножеств, сумма x + y + z принадлежит тому же подмножеству. Докажите, что одно из подмножеств состоит из нечётных чисел, а другое — из чётных.

1730*. Продолжения противоположных сторон выпуклого четырёхугольника пересекаются в точках M и K. Через точку O пересечения диагоналей четырёхугольника проведена прямая, параллельная прямой MK. Докажите, что отрезок, заключённый внутри четырёхугольника, точка O делит пополам.

1731. В ряд нарисованы 60 звёздочек. Два игрока по очереди заменяют звёздочки на цифры. Какую именно из оставшихся звёздочек заменять на цифру, игрок, решает игрок, делающий очередной ход. Докажите, что второй игрок может играть так, чтобы полученное число (возможно, начинающееся на цифру 0) делилось на 13.

1732*. а) A и B — конечные подмножества некоторой прямой, состоящее не менее чем из 3 точек каждое. Если существует биекция множества всех трёхэлементных подмножеств множества A на множество всех трёхэлементных подмножеств множества B, при которой всякое трёхэлементное подмножество множества A переходит в конгруэнтное ему подмножество множества B, докажите, что множества A и B конгруэнтны.

б) Верно ли аналогичное утверждение, если вместо «трёхэлементное» в пункте а) всюду написать «двухэлементное»?

1733. Непрерывная функция определена на отрезке [0; 1], принимает значения на этом же отрезке и удовлетворяет тождеству f (f (x)) = x. Докажите, что интеграл, взятый по всему отрезку [0; 1] от функции, значение которой в любой точке x отрезка [0; 1] равно абсолютной величине разности чисел x и f (x), равен ¹⁄₂.

1734. Уравнение (sin x)^β = x^βcos x на интервале (0; ^π⁄₂) не имеет ни одного решения при β < 3, но имеет единственное решение при β > 3. Докажите это.

1735*. Выпуклый многогранник имеет 6 вершин: по одной на каждой из полуосей прямоугольной системы координат. Докажите, что 8 проекций начала координат на грани многогранника лежат на одной сфере.

1736. Какое наибольшее число коней можно расставить на доске размером 5×5 так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

1737. Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Точки M и N — центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD. Докажите, что OMKN — параллелограмм.

1738. Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасовали и раздали двум игрокам по 3 карты, а оставшуюся карту а) спрятали; б) отдали постороннему наблюдателю. Игроки могут по очереди сообщать вслух открытым текстом любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом посторонний наблюдатель не смог вычислить местонахождение ни одной из карт, которых он не видит?

1739. Для любой чётной цифры a и любой нечётной цифры b существует число, делящееся на 2²⁰⁰⁰, каждая цифра которого — либо a, либо b. Докажите это.

1740. Натуральные числа a, b и c таковы, что a² + b² + c² = (a – b)² + (b – c)² + (c – a)². Докажите, что каждое из четырёх чисел ab, bc, ca и ab + bc + ca является квадратом.

1741. С каждым из чисел от 000 000 до 999 999 поступим следующим образом: умножим первую цифру на 1, вторую на 2 и так далее, последнюю — на 6. Сумму полученных шести чисел назовём характеристикой исходного числа. Характеристики скольких чисел делятся на 7?

1742. Квадратная таблица заполнена натуральными цифрами таким образом, что всякие два числа, соседние по вертикали или горизонтали, различаются на 1. Докажите, что либо некоторое натуральное число присутствует на каждой горизонтали, либо некоторое натуральное число присутствует на каждой вертикали.

1743. Найдите сумму целых частей чисел вида 2^k ⁄ 3, где 0 < k £ 100.

1744*. На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k разных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые k квадратов разных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздём. Докажите, что существует такой цвет, что все квадраты этого цвета можно прибить к столу 2n – 2 гвоздями.

1745. В некоторых клетках доски размером 2n × 2n стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимают все чёрные фишки, которые расположены в одной вертикали хотя бы с одной белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали хотя бы с одной из оставшихся чёрных. Докажите, что или чёрных фишек осталось не более n², или белых фишек на доске осталось не более n².

1746. На окружности находятся n красных и n синих точек, которые разделяют её на 2n равных дуг. Каждая красная точка является серединой дуги окружности с синими концами. Докажите, что каждая синяя точка является серединой дуги окружности с красными концами.

1747*. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках A', B' и C'. Через точку P пересечения прямых AA', BB' и CC' проведены три окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Докажите, что

а) шесть точек касания образуют вписанный шестиугольник, причём центр описанной около него окружности совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) главные диагонали этого шестиугольника пересекаются в точке P;

в) вторые точки пересечения проходящих через P окружностей лежат соответственно на прямых AA', BB' и CC'.

1748. На плоскости выбраны 1000 точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой). Рассмотрим всевозможные раскраски этих точек в два цвета. Назовём раскраску неразделимой, если не существует такой прямой, что точки разных цветов лежат в разных полуплоскостях. Докажите, что количество неразделимых раскрасок не зависит от выбора точек на плоскости.

1749. Рассмотрим последовательность слов, первое из которых состоит из одной буквы А, второе — АБ, третье — АБА, четвёртое — АБААБ, пятое — АБААБАБА, и так далее: очередное слово получаем из предыдущего, заменяя каждую букву А на АБ, а Б — на А.

а) Докажите, что каждое слово этой последовательности, начиная с третьего, получается приписыванием предпредыдущего слова к предыдущему.

Например, АБААБАБА — это слово АБААБ, к которому справа приписано слово АБА.

б) Пусть a₁ = 1, b₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, b₂ = 5, a₄ = 6, b₃ = 7, a₅ = 8, a₆ = 9, b₄ = 10 и, вообще, пусть a_n и b_n — номера мест, на которых стоят n-е буквы буквы А и Б в бесконечном слове АБААБАБААБААБАБААБАБААБААБАБААБААБ..., начальными отрезками которого являются слова пункта а). Докажите равенство b_n = a_n + n.

в) Рассмотрим другую последовательность слов: А, АБ, АБАА, АБАААБАБ, АБАААБАБАБАААБАА,... (Очередное слово получается из предыдущего заменой А на АБ, а Б — на АА.) Докажите, что каждое слово этой последовательности является началом следующего её слова и что номер места, на котором в соответствующем бесконечном слове АБАААБАБАБАААБАААБАААБАБАБАААБАБ... стоит n-я буква Б, в два раза больше номера места, на котором стоит n-я буква А.

1750. а) Взяли шесть бумажных квадратов, у каждого из которых длина стороны равна 1, и ими целиком оклеили поверхность куба с ребром 1. Докажите, что хотя бы один из этих бумажных квадратов целиком оклеивает некоторую грань куба.

б) Четырьмя бумажными равносторонними треугольниками, у каждого из которых длина стороны равна 1, целиком оклеили поверхность правильного тетраэдра с ребром 1. Обязательно ли хотя бы один из бумажных треугольников целиком оклеивает некоторую грань тетраэдра?

1751. Между двумя странами установлено авиационное сообщение. Каждый город одной страны связан беспересадочными рейсами ровно с k городами другой. Из любого города любой из этих стран можно перелететь в любой другой, возможно с пересадками. Никакие два города никакой одной из этих двух стран рейсы этой авиакомпании не соединяют. Одну из авиалиний закрыли. Докажите, что по-прежнему из любого города можно долететь до любого другого.

1752. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на чёрные поля шахматной доски так, чтобы они не били друг друга?

1753. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках A', B' и C'. Точка L — середина отрезка A'B'. Докажите, что угол ALB тупой.

1754*. Каждое натуральное число покрашено в чёрный или белый цвет. Докажите существование такой возрастающей последовательности чётных чисел a₁, a₂, a₃, ..., что все числа a₁, (a₁ + a₂) ⁄ 2, a₂, (a₂ + a₃) ⁄ 2, a₃, (a₂ + a₃) ⁄ 2, одного цвета.

1755*. Имеется 10 квадратных салфеток, площадь каждой из которых равна 1, и квадратный стол площади 5. Докажите, что стол можно покрыть салфетками в два слоя. (Салфетки можно перегибать, но нельзя рвать.)